Segundo BGU,Matemática.

Buenas tardes estudiantes.

Deber: Realizar la actividades 5 todos los seis literales de la página 24.

Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que ${\displaystyle |X|=|Y|}$.

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjuntode salida.

Formalmente, dada una función ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f:&X&\to &Y\\&x&\to &y=f(x)\end{array}}}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \forall y\in Y\;:\quad \exists !\ x\in X\;/\quad f(x)=y}$

Es decir, para todo ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle Y}$ se cumple que existe un único ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, tal que la función evaluada en ${\displaystyle x}$ es igual a ${\displaystyle y}$.

Dados dos conjuntos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ tienen el mismo número de elementos.

Índice

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• 1Proposición
  • 1.1Ejemplo
• 2Ejemplos.
• 3Cardinalidad y biyectividad
• 4Homomorfismo
• 5Véase también
• 6Referencias
• 7Enlaces externos

Proposición[editar]

Si ${\displaystyle f\,}$ es una función real biyectiva, entonces su función inversa ${\displaystyle f^{-1}\,}$ existe y también es biyectiva.

Ejemplo[editar]

La función:

${\displaystyle f(x)=\alpha x+\beta \,,}$ con ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

es biyectiva.

Luego, su inversa:

${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x-\beta }{\alpha }}\,}$ ¹​ ²​

también lo es.³​

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones	Inyectiva	No inyectiva
Sobreyectiva
No sobreyectiva

Ejemplos.[editar]

Asientos y alumnos en una sala de clase.

En una clase hay un determinado número de asientos. Un grupo de estudiantes ingresa a la clase y el profesor les pide a todos que se sienten. Después de hacer una rápida observación de la sala de clase, el profesor declara con seguridad que hay una biyectividad entre el grupo de estudiantes y la cantidad de asientos, donde cada estudiante esta emparejado con el asiento que le corresponde. Lo que el profesor tuvo que observar para poder hacer esta declaración es:

1. Todos los estudiantes estaban sentados (nadie estaba de pie),
2. Ningún estudiante estaba sentado en más de un asiento,
3. Cada asiento estaba ocupado (no había asientos vacíos), y
4. Ningún asiento estaba ocupado por más de un estudiante.

El profesor, gracias a esa observación, pudo concluir que había igual cantidad de asientos como de estudiantes, sin tener que contar la cantidad de asientos.