Matemática primero:
Buenas tardes estudiantes.

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número x tal que

${\displaystyle x^{n}=a}$

donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y x es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre.¹​²​

• La raíz de orden dos de ${\displaystyle a}$, se llama raíz cuadrada de ${\displaystyle a}$ y se escribe como ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ o también ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}.}$

• la raíz de orden tres de ${\displaystyle a}$, se llama raíz cúbica de ${\displaystyle a}$ y se escribe como ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}.}$

• Las raíces de ordenes superiores se nombran usando números ordinales, por ejemplo raíz cuarta o raíz séptima.

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Se define la raíz enésima de un número a, donde n es un número entero positivo, a cualquiera de las n soluciones reales o complejas de la ecuación

${\displaystyle x^{n}-a=0}$

de incógnita x y se denota como ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$. De esta manera se tiene la equivalencia:³​

${\displaystyle x^{n}=a\iff x={\sqrt[{n}]{a}}}$.

La raíz cuadrada (n=2), por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ en vez de ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}$. Para el caso n=1 el símbolo de raíz ${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ ni siquiera se escribe, puesto que ${\displaystyle {\sqrt[{1}]{a}}=a}$.

Dentro de los números reales positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar.³​ La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Dentro de los números complejos, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.

Relación con la potenciación[editar]

La radicación de orden n y la potenciación del mismo orden se anulan entre sí. Tomando la definición general de raíz para reales positivos a y para naturales n se tiene que:

${\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}$

La raíz de cierto orden n de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$. De acuerdo con las reglas de potenciación,

${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}$

de manera que la radicación de orden n puede ser interpretado en realidad como otra forma de expresar una potenciación de exponente ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$

Singularidad de las raíces de números positivos[editar]

Aunque el problema mencionado antes de hallar las raíces de números positivos tiene realmente dos soluciones con distinto signo cuando el índice n es par, el símbolo ${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ aplicado al radicando denota una función y por tanto tiene que devolver un único valor que en principio es para la solución positiva. Por ejemplo, la ecuación ${\displaystyle x^{2}=4}$ tiene las soluciones +2 y -2 pero a ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ se le asigna el valor 2 y no -2. De manera general, para índices de raíz par se cumple que

${\displaystyle {\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.}$

Formas simplificadas[editar]

Una expresión radical no anidada se dice que está en forma simplificada si⁴​

1. No tiene factores en el radicando que puedan escribirse como potencias mayores o iguales que el índice.
2. No hay fracciones bajo el signo radical
3. No hay radicales en el denominador.

Por ejemplo, para escribir la expresión radical ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}}$ en forma simplificada, se procede como sigue. Primero, se buscan cuadrados perfectos bajo el signo de la raíz cuadrada y se eliminan:

${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}}$

Después, hay una fracción bajo el signo radical, la cual se cambiara como:

${\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$

Finalmente, se elimina el radical del denominador como sigue:

${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$

Suma y resta de radicales[editar]

Radicales semejantes son aquellos radicales que después de simplificados tienen el mismo índice y el mismo radicando. Para sumar y restar radicales semejantes se saca factor común el radical semejante de todos los términos. En el caso en que no sean semejantes, no se pueden sumar ni restar, por ejemplo:

${\displaystyle 7{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{3}}+10{\sqrt[{4}]{3}}=(7+1+10){\sqrt[{4}]{3}}=18{\sqrt[{4}]{3}}.}$

Racionalización[editar]

Racionalizar una expresión consiste en eliminar los radicales del denominador, transformando la expresión en otra equivalente.¹​ El caso más sencillo es cuando se tiene solo una raíz enésima ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{p}}}}$ en el denominador, de forma que se simplifica el denominador multiplicando el numerador y el denominador por ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{{a}^{n-p}}}}$.

Cuando hay un denominador que contiene radicales, siempre es posible encontrar un factor para multiplicar el numerador y el denominador y así simplificar la expresión.⁵​⁶​ Por ejemplo, usando la factorización de la suma de dos cubos:

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.}$