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Exponente racional[editar]

Artículo principal: Radicación

La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo ${\displaystyle x^{n}=a}$, de manera que ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}$, pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para todo n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.

Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

(3)${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}$

Observación

${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{{\frac {1}{n}}\cdot n}=a^{1}=a.}$

En general para las fracciones se define que:

(4)${\displaystyle {\begin{array}{ll}a^{\frac {n}{m}}&={\sqrt[{m}]{a^{n}}}\\a^{-{\frac {n}{m}}}&={\frac {1}{a^{\frac {n}{m}}}}\end{array}}}$

Relación

mostrar${\displaystyle a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}=a^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{m_{1}}}={\frac {n_{2}}{m_{2}}}}$

Propiedades[editar]

${\displaystyle a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot a^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}=a^{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}+{\frac {n_{2}}{m_{2}}}},}$

${\displaystyle \left(a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\right)^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}=a^{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot {\frac {n_{2}}{m_{2}}}},}$

${\displaystyle (a\cdot b)^{\frac {n}{m}}=a^{\frac {n}{m}}\cdot b^{\frac {n}{m}}.}$

Ejemplo: