Progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión en la que el elemento siguiente se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.

Así, $5,15,45,135,405,...\,$ es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo

a_n\,

el término en cuestión,

a_{1}\,

el primer término y

r

, la razón:

a_{n}=a_{1}\cdot r^{(n-1)}\,

En el ejemplo anterior, el sexto elemento de la serie sería:

a_{6}=5\cdot 3^{6-1}=5\cdot 3^{5}=1215

Que se puede verificar multiplicando el último término por la razón:

405\cdot 3=1215

Para obtener la razón de una progresión geométrica solo se divide un término cualquiera entre el término anterior, o sea:

r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}

Índice

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Ejemplos de progresiones geométricas[editar]

La progresión 1, 2, 4, 8, 16, ... es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40, ...
La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875, ... es una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternanteporque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7, ...

Suma de términos de una progresión geométrica[editar]

Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica[editar]

Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Se denomina como S_n a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

r\cdot S_{n}=r\cdot (a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})

r\cdot S_{n}=r\cdot a_{1}+r\cdot a_{2}+...+r\cdot a_{n-1}+r\cdot a_{n}

puesto que

r\cdot a_{i}=a_{i+1}

r\cdot S_{n}=a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+a_{n+1}

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

r\cdot S_{n}-S_{n}=a_{n+1}-a_{1}

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando

S_n

S_{n}={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{r-1}}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a_n como: