Tercero BGU, Matemática.

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Multiplicación de matrices

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En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalarsegún unas determinadas reglas.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

Índice

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• 1Multiplicación de una matriz por un escalar
  • 1.1Propiedades
• 2Multiplicación de una matriz por otra matriz
  • 2.1Propiedades
• 3Aplicaciones
  • 3.1Sistemas de ecuaciones
• 4Referencias
• 5Enlaces externos

Multiplicación de una matriz por un escalar[editar]

Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$ que se escribe genéricamente como ${\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}.}$

la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA es:

${\displaystyle kA={\begin{pmatrix}ka_{11}&\cdots &ka_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\ka_{m1}&\cdots &ka_{mn}\end{pmatrix}}}$ que se escribe genéricamente como ${\displaystyle kA:=(k\cdot a_{ij})_{m\times n}.}$

En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como sumar o restar la misma matriz tantas veces como indique el escalar:

${\displaystyle n\times A=\underbrace {A+\dots \ +A} _{n}}$

Propiedades[editar]

Sean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad	Descripción
Clausura	cA es también una matriz
Elemento neutro	Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A
Propiedad asociativa	(cd)A = c(dA)
Propiedad distributiva - De escalar - De matriz	c(A+B) = cA+cB (c+d)A = cA+dA

Multiplicación de una matriz por otra matriz[editar]

Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnasde sus respectivos colores.

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:

${\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}$ y ${\displaystyle B:=(b_{ij})_{n\times p}}$

la multiplicación de A por B, que se denota ${\displaystyle A\cdot B,\;A\times B,\;A\circ B}$ o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:

${\displaystyle C=AB:=(c_{ij})_{m\times p}}$

donde cada elemento c_i,j está definido por:

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}}$

es decir:

${\displaystyle C=AB_{}^{}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\cdot }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1p}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&\cdots &b_{np}\end{pmatrix}}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\end{pmatrix}}}$

Propiedades[editar]

Sean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a un grupo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad	Descripción
Clausura	AB es también una matriz
Elemento neutro	Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que: I·A = A·I = A
Propiedad asociativa	(AB)C = A(BC)
Propiedad distributiva - Por la derecha - Por la izquierda	(A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB

mostrarDemostración de la propiedad asociativa

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.

${\displaystyle AB_{}^{}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$ y por el contrario ${\displaystyle BA_{}^{}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\cdot }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}}$

La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares, puede representarse mediante una multiplicación de dos matrices:

${\displaystyle kA_{}^{}=}$ ${\displaystyle (kI)A_{}^{}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&\cdots &0\\0&k&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &k\end{pmatrix}}\cdot }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}ka_{11}&\cdots &ka_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\ka_{n1}&\cdots &ka_{nn}\end{pmatrix}}.}$

Aplicaciones[editar]

La multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dado que son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. El cálculo numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que aplicaciones como MATLAB y Octave. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo de microarrays, en el área de bioinformática.

Sistemas de ecuaciones[editar]

Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x₁,x₂) hacen corresponder el punto N(y₁,y₂) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, por ejemplo, el sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y_{1}=ax_{1}+bx_{2}\\y_{2}=cx_{1}+dx_{2}\end{matrix}}\right.}$

se escribe de forma matricial así:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

Como se ve, en la notación matricial, las variables sólo aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.

Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{1}=ey_{1}+fy_{2}\\z_{2}=gy_{1}+hy_{2}\end{matrix}}\right.{\mbox{ con }}\left\{{\begin{matrix}y_{1}=ax_{1}+bx_{2}\\y_{2}=cx_{1}+dx_{2}\end{matrix}}\right.}$

obtenemos:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{1}=e(ax_{1}+bx_{2})+f(cx_{1}+dx_{2})=(ea+fc)x_{1}+(eb+fd)x_{2}\\z_{2}=g(ax_{1}+bx_{2})+h(cx_{1}+dx_{2})=(ga+hc)x_{1}+(gb+hd)x_{2}\end{matrix}}\right.}$

lo que corresponde a la matriz:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ea+fc&eb+fd\\ga+hc&gb+hd\end{pmatrix}}}$

Por lo tanto se define el producto de matrices así:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ea+fc&eb+fd\\ga+hc&gb+hd\end{pmatrix}}}$