Primero de BGU, Matemática.

Buenas tardes estudiantes.

Deber: Realizar las actividades de la página 92 literales a, b, 

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones.¹​ En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.

Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a Lcomo se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.

Índice

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• 1Historia
• 2Definición formal
  • 2.1Funciones de variable real
  • 2.2Límite secuencial
  • 2.3Funciones de dos variables reales
  • 2.4Funciones en espacios métricos
• 3Unicidad del límite
• 4Límites laterales
• 5Límites infinitos
  • 5.1Variable que tiende a infinito
  • 5.2Función que tiende a infinito
  • 5.3Ambos casos
• 6Cálculo de límites
  • 6.1Propiedades generales
  • 6.2Indeterminaciones
  • 6.3Regla de l'Hôpital
  • 6.4Límites trigonométricos
• 7Véase también
• 8Referencias
• 9Enlaces externos

Historia[editar]

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.²​ Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.³​ La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860⁴​ y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.³​

Definición formal[editar]

Funciones de variable real[editar]

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función ${\displaystyle f}$ tiene límite ${\displaystyle L}$ en ${\displaystyle c}$ podemos decir de manera informal que la función ${\displaystyle f}$ tiende hacia el límite ${\displaystyle L}$ cerca de ${\displaystyle c}$ si se puede hacer que ${\displaystyle f(x)}$ esté tan cerca como queramos de ${\displaystyle L}$ haciendo que ${\displaystyle x}$ esté suficientemente cerca de ${\displaystyle c}$ siendo ${\displaystyle x}$ distinto de ${\displaystyle c}$.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo ${\displaystyle \varepsilon >0\;}$, existe un ${\displaystyle \delta >0\;}$ tal que para todo número real x en el dominio de la función, si ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ entonces ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$.

Esto, escrito en notación formal:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L}$${\displaystyle \iff \forall \varepsilon >0,\,\,\,\exists \delta >0\,|\,\forall x\in \operatorname {Dom} (f),\,\,0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación ( o punto límite) del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.⁵​

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del ${\displaystyle \delta }$ no era adecuada.

Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que ${\displaystyle \lim _{x\to 2}(3x-5)=1.}$ El cálculo de este límite surge por simple sustitución, esto se debe a que la función afín es continua.

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Hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet ${\displaystyle D:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ definida como:

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}c&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {racional} \\d&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {irracional} \\\end{cases}}}$

donde no hay ningún número a en el dominio para el cual existe el ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x).}$ Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Límite secuencial[editar]

Consiste en definir al límite de una función en términos de los valores que toma para sucesiones contenidas en su dominio.

Una función real f tiene un límite L en un punto x = c de su dominio si para toda sucesión xn que converge a este punto c, la sucesión f(xn) converge a L.

En términos formales, si x_n es una sucesión tal que

${\displaystyle \forall \varepsilon _{0}>0,\exists N_{0}\in \mathbb {N} /n\geq N_{0}\Longrightarrow |x_{n}-c|<\varepsilon _{0}}$

entonces f tiene límite L en x = c si y sólo si

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} /\forall x_{n},\,n>N\Longrightarrow |f\left(x_{n}\right)-L|<\varepsilon }$

lo cual se simboliza así:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)=L}$

Esta definición en términos de sucesiones es equivalente a la definición épsilon-delta de Cauchy.

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El límite secuencial proporciona una manera sencilla de probar la inexistencia de ciertos límites, como por ejemplo el ya mencionado

${\displaystyle \lim _{x\to a}D(x)}$

para ellos basta tomar dos sucesiones diferentes que converjan al punto a:

1. una que contenga sólo números racionales y
2. otra que sólo contenga irracionales

de esta manera, se obliga a la función a tomar dos valores diferentes sobre sucesiones que tienden a un mismo punto del dominio. Luego, el límite no existe.

Funciones de dos variables reales[editar]

A medida que se afina el intervalo que encierra a L puede tomarse un disco de radio δ más pequeño, dentro del cual es posible acercarse al punto (a,b), sin necesariamente pasar por él.

Dada una función

${\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

que a cada par (x,y) de números reales contenido en el conjunto D le asigna un número real z, es posible extender la definición de límite a este tipo de funciones. Sea (a,b) un punto de acumulación del conjunto D, puede definirse al límite L de f en este punto como sigue.

El límite de una función f(x,y) cuando x tiende a a e y tiende a b es L si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo par de números reales (x,y) en D se cumple la implicación ${\displaystyle 0<\|(x-a,y-b)\|<\delta \Longrightarrow |f(x,y)-L|<\varepsilon }$

${\displaystyle {\textrm {con}}\ \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Tomaremos como ejemplo la siguiente función

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ f(x,y)={\frac {x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{2}}}}$

El punto (0,0) es un punto de acumulación del dominio de f, puesto que cualquier entorno con centro en este punto encierra otros, distintos del primero, pertenecientes también al dominio de la función.

Para esta función se cumple

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=0}$

lo cual puede ser demostrado por definición.

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Si en vez de una función escalar se toma el campo vectorial

${\displaystyle \mathbf {f} :D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

la definición de límite es análoga.

El límite del campo vectorial f(x,y) cuando x tiende a a e y tiende a b es el vector L si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo par de números reales (x,y) en D se cumple la siguiente implicación ${\displaystyle 0<\|(x-a,y-b)\|<\delta \Longrightarrow \|\mathbf {f} (x,y)-\mathbf {L} \|<\varepsilon }$

Un importante teorema que relaciona las dos definiciones anteriores es el siguiente.

Dado un campo vectorial f y dos funciones escalares P y Q, relacionadas de la siguiente manera ${\displaystyle \mathbf {f} (x,y)={\Big (}P(x,y),Q(x,y){\Big )}}$ y sea L = (A,B) un vector en R2, bajo estas condiciones se cumple que ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}\mathbf {f} (x,y)=\mathbf {L} \iff \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}P(x,y)=A\land \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}Q(x,y)=B}$

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Este resultado puede generalizarse a funciones vectoriales de la forma

${\displaystyle \mathbf {f} :X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

es decir, de n variables y m componentes.⁶​

Funciones en espacios métricos[editar]

La definición de límite puede generalizarse a cualquier función definida entre dos espacios métricos. Supóngase dados dos conjuntos M y N, con sus respectivas métricas d_M y d_N. Sea la función f definida entre los dos espacios métricos formados por cada par conjunto-métrica,

${\displaystyle f:\left(M,d_{M}\right)\longrightarrow \left(N,d_{N}\right)}$

y sean c un punto límite de M, y L∈N.

Se dice que «el límite de f en c es L» y se escribe: ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

De la desigualdad 0 < d_M(x, c) < δ se obtiene lo siguiente:

1. x pertenece a una vecindad de c.
2. x no es igual a c, pues 0 < 0 < d_M implica que x es distinto de c.

Unicidad del límite[editar]

La definición de límite permite demostrar el siguiente

Teorema Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.⁷​

Supóngase que ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=L}$ y también que ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=L'}$ siendo L y L' distintos; se debe de comprobar que no puede ser que ${\displaystyle L'\neq L}$ verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite ${\displaystyle f(x)\in E}$ para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.

Límites laterales[editar]

El límite cuando: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Por lo tanto, el límite cuando x → x₀ no existe.

Tomemos ahora una función de una variable

${\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

y un punto x del dominio D de esta función, aproximándose a c, pero tomando sólo valores más grandes que él. Formalmente estaríamos tomando los x que verifican ${\displaystyle 0<x-c<\delta }$, para ciertos ${\displaystyle \delta }$. Si la función tiende a un valor ${\displaystyle L^{+}}$, se dice que «existe el límite por derecha» y se denota así

${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=L^{+}}$

Tomando valores más pequeños, es decir los x tales que ${\displaystyle 0<-(x-c)<\delta }$, el límite puede ser escrito como:

${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=L^{-}}$

Si los dos límites anteriores son iguales:

${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=\lim _{x\to c^{+}}f(x)=L}$

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe. El hecho de que el límite no sea el mismo en todo entorno del punto c implica que no es único, por esta razón es que no existe.

Los límites laterales permiten definir la continuidad y derivabilidad de una función en un punto.

Límites infinitos[editar]

Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito, definiremos cada uno de ellos en las secciones siguientes.

Variable que tiende a infinito[editar]

Dado ε, puede establecerse R de modo que f(x) se «acerque» a L, a medida que x se aleja del origen ilimitadamente.

Cuando una variable tienda a infinito, supongamos x, utilizaremos el símbolo del infinito de esta manera ${\displaystyle x\to \infty }$. Esto significa que la variable x toma valores arbitrariamente grandes, en magnitud. Analíticamente diremos que, fijado cierto número real R, x lo superará en valor absoluto, cualquiera sea el R tomado.

${\displaystyle x\to \infty \iff \forall R>0,|x|>R}$.

Para esta definición tomaremos, como caso particular, dos «signos del infinito».

1. Si es ${\displaystyle x>0}$, diremos que x tiende a más infinito o al infinito «positivo». Lo denotaremos así, ${\displaystyle x\to +\infty }$.
2. Si ${\displaystyle x<0,\ x\to -\infty }$ significa que x tiende a menos infinito.

Resulta de especial interés el comportamiento de ciertas funciones en el infinito. Cuando estos límites existen, y son números reales, podemos construir la ecuación de las asíntotas horizontales u oblicuas de la función. Definiremos entonces el límite de una función, cuando la variable independiente tiende a infinito, para cualquier signo.

El límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito es L si y sólo si para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ${\displaystyle \exists R>0}$ tal que, para todo x en el dominio de f, se cumple la implicación ${\displaystyle |x|>R\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$.

Si sólo se toma uno de los casos, basta añadir la restricción correspondiene. Por ejemplo, si queremos calcular el límite de ${\displaystyle x\to -\infty }$, consideraremos la definición anterior con la salvedad de que ${\displaystyle x<0}$.

Tomemos como ejemplo ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$, definida ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$. A medida que damos valores muy grandes a x en valor absoluto, f decrece y se acerca a cero. Esto se puede demostrar con la definición dada.

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Como ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0}$, la ecuación ${\displaystyle y=0}$ determina la asíntota horizontal de la función.

Función que tiende a infinito[editar]

Tomando R arbitrariamente grande, podemos establecer un δ de modo que cuando x se acerque a c, f(x) supere a R en valor absoluto.

Dada cierta función f, diremos que tiende a infinito cuando crezca indefinidamente, a medida que nos acercamos a cierto punto c en el dominio. Esto equivale a afirmar que f no está acotada, para valores del dominio «suficientemente cercanos» a c. Esto se denota así ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty }$, o también, se escribe ${\displaystyle f(x)\to \infty }$.

Si tomamos a la función f como una variable, por ejemplo, y, podemos utilizar la definición de variable que tiende a infinito, y combinarla con la definición de límite, de la siguiente manera.

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c, es infinito si y sólo si para todo ${\displaystyle R>0}$ existe un ${\displaystyle \delta >0}$ tal que, para todo punto x en el dominio de f, se cumple ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)|>R}$.

En símbolos,

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty \iff \forall R>0,\exists \delta >0/\forall x\in \mathrm {Dom} (f),0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)|>R}$.

Como ejemplo, tomemos la función racional ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$, cuya gráfica en el plano es una hipérbola equilátera centrada en el origen de coordenadas. Tomando x muy cercano a cero, la función f(x) toma valores muy grandes, por eso se dice que f(x) tiende a infinito cuando x tiende a cero. Esto puede demostrarse con la definición.

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Cuando una función tiende a infinito en un punto determinado c del dominio, la recta que determina la ecuación ${\displaystyle x=c}$, es decir, todo punto de la forma ${\displaystyle (c,t)\forall t\in \mathbb {R} }$, se denomina asíntota vertical de la función. Para el ejemplo dado, ${\displaystyle x=0}$ es la asíntota vertical.

El hecho de que ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=\infty }$ no implica que sea posible la división por cero. Según la definición de este límite, ${\displaystyle 0<|x|<\delta \Rightarrow x\neq 0}$, con lo cual, ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\neq \infty }$. En definitiva, ${\displaystyle \not \exists {\frac {1}{0}}}$ es decir, está expresión es indefinida.

Tomemos otro ejemplo, la función logaritmo natural.

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty }$

Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para ${\displaystyle x>0}$ en los reales.

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Esta función tiene una asíntota vertical ${\displaystyle x=0}$, igual que la anterior.

Ambos casos[editar]

A medida que tomamos M cada vez más grande, podemos establecer R de modo que f supere a M en valor absoluto cuando lo hace x, con respecto a R.

Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica de x tiende a infinito, cuando x tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.

El límite de una función f(x) es infinito, cuando x tiende a infinto, si y sólo si para todo ${\displaystyle M>0}$ existe un ${\displaystyle R>0}$ para el cual se cumple ${\displaystyle |x|>R\Rightarrow |f(x)|>M}$, siempre que ${\displaystyle x\in \mathrm {Dom} (f)}$.

Tomemos como ejemplo a la función afín ${\displaystyle f(x)=3x-5}$, que es un caso particular de función polinómica. Siendo su gráfica una recta, intuitivamente podemos imaginar que tomando puntos de x «muy grandes» o «muy pequeños» los valores de f(x), es decir, la «altura», se hace muy grande o pequeña con respecto a x.

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Cálculo de límites[editar]

Los conceptos definidos permiten introducir herramientas para el cálculo de límites. A partir de las definiciones pueden demostrarse propiedades algebraicas, listadas en detalle a continuación.

Propiedades generales[editar]

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de	Expresión
Una constante	${\displaystyle \lim _{x\to c}k=\,k,\,{\textrm {donde}}\ k\in \mathbb {R} \,}$
La función identidad	${\displaystyle \lim _{x\to c}x=\,c\,}$
El producto de una función y una constante	${\displaystyle \lim _{x\to c}kf(x)=\,k\lim _{x\to c}f(x)\,}$
Una suma	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)\,}$
Una resta	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)\,}$
Un producto	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x)\,}$
Un cociente	${\displaystyle \lim _{x\to c}{{f(x)} \over {g(x)}}=\,{{\lim _{x\to c}{f(x)}} \over {\lim _{x\to c}{g(x)}}}\,\ {\mbox{si }}\lim _{x\to c}g(x)\neq 0,}$
Una potencia	${\displaystyle {\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}=\,{\lim _{x\to c}f(x)^{\lim _{x\to c}g(x)}}\,\ {\mbox{si }}f(x)>0}$
Un logaritmo	${\displaystyle {\lim _{x\to c}\log f(x)}=\,\log {\lim _{x\to c}f(x)}}$
El número e	${\displaystyle {\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1 \over x}}=\,{\lim _{x\to \infty }\left(1+{1 \over x}\right)^{x}}=\,e}$
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal	${\displaystyle {\lim _{x\to c}\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\,0}$.

Indeterminaciones[editar]

Véase también: Forma indeterminada

Las propiedades generales permiten, junto con la definición, calcular límites indeterminados mediante transformaciones algebraicas. Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las que se muestran en la tabla siguiente. Considerar ${\displaystyle \infty \,\!}$ como el límite que tiende a infinito y ${\displaystyle 0,\,1\,\!}$ al límite de una función que tiende a 0 o 1, respectivamente.

Operación	Indeterminación
Sustracción	${\displaystyle \infty -\infty }$
Multiplicación	${\displaystyle \infty \cdot 0}$
División	${\displaystyle {\cfrac {\infty }{\infty }},{\cfrac {0}{0}}}$
Elevación a potencia	${\displaystyle 1^{\infty },\infty ^{0},0^{0}}$

Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty }$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}=1}$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}=0}$

Nótese que hubiera sido imposible «eliminar» las indeterminaciones en los ejemplos anteriores si no se hubiera supuesto ${\displaystyle t\neq 0}$, desigualdad que se deduce de la definición.

Regla de l'Hôpital[editar]

Artículo principal: Regla de l'Hôpital

Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadasrequieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Por ejemplo: ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$

Límites trigonométricos[editar]

1. ${\displaystyle {\lim _{x\to \infty }x\;\sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}=\,2\pi }$
2. ${\displaystyle {\lim _{x\to 0}{{\sin x} \over x}}={\lim _{x\to 0}{x \over \sin x}}=\,1\,}$
3. ${\displaystyle {\lim _{x\to 0}{\tan x \over x}}={\lim _{x\to 0}{x \over \tan x}}=\,1\,}$
4. ${\displaystyle {\lim _{x\to 0}{\sin x \over \tan x}}\,={\lim _{x\to 0}{\tan x \over \sin x}}=\,1}$
5. ${\displaystyle {\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}=\,{\dfrac {1}{2}}\,}$
6. ${\displaystyle {\lim _{x\to \infty }x\;\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}=\,1}$⁸​

Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, requieren el uso de la inecuación sin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente.

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El tercero de los límites se logra demostrar utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

${\displaystyle {\lim _{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}={\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\cdot 1=1}$