Segundo BGU, Matemática.

Buenas tardes estudiantes.

Deber: Realizar las actividades 16 y 17 de la página 39.

Progresión geométrica

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Una progresión geométrica es una sucesión en la que el elemento siguiente se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.

Así, ${\displaystyle 5,15,45,135,405,...\,}$ es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo ${\displaystyle a_{n}\,}$ el término en cuestión, ${\displaystyle a_{1}\,}$ el primer término y ${\displaystyle r}$, la razón:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{(n-1)}\,}$

En el ejemplo anterior, el sexto elemento de la serie sería:

${\displaystyle a_{6}=5\cdot 3^{6-1}=5\cdot 3^{5}=1215}$

Que se puede verificar multiplicando el último término por la razón: ${\displaystyle 405\cdot 3=1215}$

Para obtener la razón de una progresión geométrica solo se divide un término cualquiera entre el término anterior, o sea:

${\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}$

Índice

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• 1Ejemplos de progresiones geométricas
• 2Suma de términos de una progresión geométrica
  • 2.1Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
  • 2.2Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
• 3Producto de los primeros n términos de una progresión geométrica
• 4Véase también
• 5Enlaces externos

Ejemplos de progresiones geométricas[editar]

• La progresión 1, 2, 4, 8, 16, ... es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40, ...
• La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875, ... es una progresión geométrica con razón 1/4.
• La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternanteporque los signos alternan entre positivo y negativo.
• Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7, ...

Suma de términos de una progresión geométrica[editar]

Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica[editar]

Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Se denomina como S_n a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}}$

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

${\displaystyle r\cdot S_{n}=r\cdot (a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})}$

${\displaystyle r\cdot S_{n}=r\cdot a_{1}+r\cdot a_{2}+...+r\cdot a_{n-1}+r\cdot a_{n}}$

puesto que ${\displaystyle r\cdot a_{i}=a_{i+1}}$

${\displaystyle r\cdot S_{n}=a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+a_{n+1}}$

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

${\displaystyle r\cdot S_{n}-S_{n}=a_{n+1}-a_{1}}$

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{r-1}}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a_n como:

${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

que expresa la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios ${\displaystyle a_{m}\ y\ a_{n}}$ (ambos incluidos):

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}={\frac {r\cdot a_{n}-a_{m}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {(r^{n}-r^{m-1})}{r-1}}=a_{m}\cdot {\frac {(r^{n-m+1}-1)}{r-1}}}$

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica[editar]

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad ${\displaystyle |r|<1}$, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si ${\displaystyle |r|<1}$, ${\displaystyle r^{\infty }}$ tiende hacia 0, de modo que:

${\displaystyle S_{\infty }=a_{1}{\cfrac {r^{\infty }-1}{r-1}}=a_{1}\cdot {\cfrac {0-1}{r-1}}}$

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

${\displaystyle S_{\infty }={\cfrac {a_{1}}{1-r}}}$

Producto de los primeros n términos de una progresión geométrica[editar]

El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}}$ (si ${\displaystyle a_{1},r>0}$).

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón r (si ${\displaystyle a_{1},r>0}$), están en progresión aritmética de diferencia log r, se tiene:

${\displaystyle \log(\prod _{i=1}^{n}a_{i})=\ \sum _{i=1}^{n}\log a_{i}=\ {\frac {(\log a_{1}+\log a_{n})n}{2}}=\ \log \left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}}$ ,

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.