Tercero BGU, Física.

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Deber: Realizar las actividades de la página 33.

Momento de inercia

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Para otros usos de este término, véase Momento de inercia (desambiguación).

Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae.

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Índice

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• 1Ecuaciones del momento de inercia
  • 1.1Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
  • 1.2Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
• 2Momentos de inercia de objetos simétricos
• 3Tensor de inercia de un sólido rígido
• 4Véase también
• 5Referencias
  • 5.1Bibliografía
  • 5.2Enlaces externos

Ecuaciones del momento de inercia[editar]

¿Cuál de estos giros resulta más difícil?
El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia mínima r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

${\displaystyle I=\sum m_{i}r_{i}^{2}\,}$

Para un cuerpo de masa continua (medio continuo), se generaliza como:

${\displaystyle I=\int _{m}r^{2}dm=\int _{V}\rho r^{2}\,dV}$

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: ${\displaystyle \scriptstyle {F=ma}}$ tiene como equivalente para la rotación:

${\displaystyle \tau =I\alpha \,}$

donde:

• ${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$ es el torque aplicado al cuerpo.
• ${\displaystyle \scriptstyle {I}}$ es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
• ${\displaystyle \textstyle {\alpha ={d^{2}\theta \over dt^{2}}}}$ es la aceleración angular.

Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es ${\displaystyle \scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}}$, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es ${\displaystyle \scriptstyle {{1 \over 2}I\omega ^{2}}}$, donde ${\displaystyle I}$ es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }}$:

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\omega }}}$. Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos[editar]

Artículo principal: Teorema de Steiner

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

${\displaystyle I_{\rm {eje}}=I_{\rm {eje}}^{\rm {(CM)}}+Mh^{2}\,}$

donde: I_eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I^(CM)_eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C ${\displaystyle {\bar {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} _{C}+\mathbf {h} }$ inmediata:

${\displaystyle I_{\rm {eje}}=\int _{V}{\bar {\mathbf {r} }}\cdot {\bar {\mathbf {r} }}\quad dm=\int _{V}(\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}+2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} +\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} )\quad dm=\int _{V}\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}\quad dm+\int _{V}2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} \quad dm+\int _{V}\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} \quad dm}$

${\displaystyle I_{\rm {eje}}=I_{\rm {eje}}^{\rm {(CM)}}+\underbrace {2\mathbf {h} \cdot \int _{V}\mathbf {r} _{C}dm} _{=0}+Mh^{2}}$

donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la densidad de masa que posea el cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas[editar]

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$.
3. Determinar las coordenadas del centro de masas (cdm) de estas partes ${\displaystyle (x_{i},y_{i})\,}$ con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm ${\displaystyle (x_{G},y_{G})\,}$ de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: ${\displaystyle I_{i,x}}$ e ${\displaystyle I_{i,y}}$, para el área i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: ${\displaystyle {\bar {I}}_{i,x}=I_{i,x}+M_{i}(y_{i}-y_{G})^{2}}$ y ${\displaystyle {\bar {I}}_{i,y}=I_{i,y}+M_{i}(x_{i}-x_{G})^{2}}$
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores: ${\displaystyle I_{x,\mathrm {tot} }=\sum _{i}{\bar {I}}_{i,x}}$ e ${\displaystyle I_{y,\mathrm {tot} }=\sum _{i}{\bar {I}}_{i,y}}$

Momentos de inercia de objetos simétricos[editar]

Los siguientes momentos de inercia están escritos para cuerpos rígidos de composición uniforme y cuyos ejes de rotación pasan a través de un plano de simetría (es decir, perpendiculares a dicho plano) del cuerpo que contiene al centro de masas.

Cuerpo Rígido	Posición del eje de rotación	Momento de Inercia (I)
Varilla delgada de longitud L y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{12}}ML^{2}}$
Cono sólido de radio R (de la base) y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {3}{10}}MR^{2}}$
Cono sólido de radio R (de la base), altura H y masa M	Diámetro de la base	${\displaystyle {\frac {1}{10}}M\left({{\frac {3}{2}}R^{2}+H^{2}}\right)}$
Varilla delgada de longitud L y masa M	Extremo de la varilla	${\displaystyle {\frac {1}{3}}ML^{2}}$
Aro delgado de radio R y masa M	CM	${\displaystyle MR^{2}}$
Cilindro sólido de radio R y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{2}}MR^{2}}$
Disco de radio R y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{2}}MR^{2}}$
Placa rectangular de lados a y b asentada con masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{12}}M(a^{2}+b^{2})}$
Placa rectangular parada con lado perpendicular al eje de rotación L con masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{12}}ML^{2}}$
Placa rectangular parada con lado perpendicular al eje de rotación L con masa M	Extremo de la placa	${\displaystyle {\frac {1}{3}}ML^{2}}$
Esfera sólida de radio R y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {2}{5}}MR^{2}}$
Cascarón esférico de radio R y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {2}{3}}MR^{2}}$
Corona esférica de radio interno R1, radio externo R2 y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {2}{5}}M{\frac {R_{2}^{5}-R_{1}^{5}}{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}}}}$
Cilindro hueco de radios R1 y R2 con masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{2}}M(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}$
Partícula de masa M a una distancia R del eje de rotación	Distancia R de la partícula	${\displaystyle MR^{2}}$

Tensor de inercia de un sólido rígido[editar]

Artículo principal: Tensor de inercia

Cuando se estudian problemas con sólidos 3D que giran en el espacio, en general es necesario, usar un concepto un poco más general de inercia rotacional, llamado tensor de inercia. El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

${\displaystyle I_{ij}=I_{ji}=\int _{M}\left[\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j}\right]\ dm=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\left[\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j}\right]d^{3}\mathbf {r} }$

Donde ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\,}$ son las coordenadas cartesianas rectangulares.

${\displaystyle \delta _{ij}\;}$, es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como: ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$

Los elementos ${\displaystyle I_{ii},\,i=1,2,3}$ reciben el nombre de momento de inercia respecto al eje ${\displaystyle x_{i}}$, y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:

${\displaystyle I_{xx}=\int _{V}\rho (y^{2}+z^{2})d^{3}\mathbf {r} }$

${\displaystyle I_{yy}=\int _{V}\rho (z^{2}+x^{2})d^{3}\mathbf {r} }$

${\displaystyle I_{zz}=\int _{V}\rho (x^{2}+y^{2})d^{3}\mathbf {r} }$

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=\int _{M}-xy\ dm=\int _{V}-\rho xy\ d^{3}\mathbf {r} }$

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=\int _{M}-yz\ dm=\int _{V}-\rho yz\ d^{3}\mathbf {r} }$

${\displaystyle I_{zx}=I_{xz}=\int _{M}-zx\ dm=\int _{V}-\rho zx\ d^{3}\mathbf {r} }$

Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de inercia haciendo :

${\displaystyle \delta _{ij}=0;i\neq j}$.

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

${\displaystyle I_{eje}=\mathbf {t} \cdot (\mathbf {I} \mathbf {t} )=\left({\begin{matrix}t_{x}&t_{y}&t_{z}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}t_{x}\\t_{y}\\t_{z}\\\end{matrix}}\right)=\sum _{j}\sum _{k}I_{jk}t_{j}t_{k}}$

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y ${\displaystyle t=(t_{x},t_{y},t_{z})\,}$ es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.