Tercero BGU, Matemática.

Buenas tardes estudiantes.

Deber: Subraya las ideas principales y secundarias y elabora un mapa conceptual sobre lo entendido, incluyendo el ejemplos propuestos en el mismo libro.

Matriz invertible

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En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que: ${\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}}$, donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Índice

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• 1Ejemplos
  • 1.1Matriz de dos filas (matriz adjunta)
• 2Propiedades de la matriz inversa
  • 2.1Demostración de la unicidad de la inversa
  • 2.2Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas
    • 2.2.1Suficiencia ${\displaystyle (\Rightarrow )}$
    • 2.2.2Necesidad ${\displaystyle (\Leftarrow )}$
• 3Métodos de inversión de matrices
  • 3.1Solución analítica
    • 3.1.1Inversión de matrices 2×2
    • 3.1.2Inversión de matrices de órdenes superiores
  • 3.2Métodos numéricos
• 4Grupo lineal
• 5Véase también
• 6Referencias
  • 6.1Enlaces externos

Ejemplos[editar]

Matriz de dos filas (matriz adjunta)[editar]

Dada una matriz de 2x2 con determinante no nulo:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

Está definida siempre y cuando ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$. Así por ejemplo la inversa de la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},}$ ya que ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Dada una matriz de 3x3 con determinante no nulo:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}}$

Propiedades de la matriz inversa[editar]

• La inversa de una matriz, es única.
• La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

${\displaystyle \left(A\cdot B\right)^{-1}={B}^{-1}\cdot {A}^{-1}}$

• Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}}$

• Y, evidentemente:

${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$

• Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\ }$

donde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$ es el determinante de A y ${\displaystyle \operatorname {adj} {(A)}\ }$ es la matriz de adjuntos de A, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto¹​²​³​⁴​⁵​ en el artículo matriz de adjuntos).

• El conjunto de matrices de nxn con componentes sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbf {K} }$ que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$de orden n. En este grupo la operación de inversa es un automorfismo ${\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$.

Demostración de la unicidad de la inversa[editar]

Supongamos que B y C son inversas de A

${\displaystyle AB=BA=I,\quad {\text{y}}\quad AC=CA=I}$

Multiplicando ambas relaciones por C

${\displaystyle (BA)C=IC=C,\quad {\text{y}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B}$

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas[editar]

Se probará la doble implicación.

Suficiencia ${\displaystyle (\Rightarrow )}$[editar]

Suponiendo que existe ${\displaystyle B}$ tal que ${\displaystyle AB=BA=I}$. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

${\displaystyle \det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right)}$

usando la propiedad ${\displaystyle \det(I)=1}$

${\displaystyle \det \left(A\right)\det \left(B\right)=1}$

Por lo tanto, ${\displaystyle \det(A)}$ es distinto de cero.

${\displaystyle \det \left(A\right)\neq 0}$

Necesidad ${\displaystyle (\Leftarrow )}$[editar]

Suponiendo que el determinante de ${\displaystyle A}$ es distinto de cero, sea ${\displaystyle a_{ij}}$ es el elemento ij de la matriz ${\displaystyle A}$ y sea ${\displaystyle A_{ij}}$ la matriz ${\displaystyle A}$ sin la fila ${\displaystyle i}$ y la columna ${\displaystyle j}$ (comúnmente conocida como ${\displaystyle j}$-ésimo menor de A). Entonces

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})}$

Sea ${\displaystyle k\neq j}$, entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0}$

Esta afirmación es válida por propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación es el determinante de la matriz ${\displaystyle A}$ con la columna ${\displaystyle j}$ igual a la columna ${\displaystyle k}$ y los demás términos iguales a los de ${\displaystyle A}$. Entonces

${\displaystyle \delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}}$

donde ${\displaystyle \delta _{jk}=1}$ cuando ${\displaystyle j=k}$ y ${\displaystyle \delta _{jk}=0}$ cuando ${\displaystyle j\neq k}$. Entonces

${\displaystyle \det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A}$

Es decir que ${\displaystyle A}$ tiene inversa izquierda

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}}$

Como ${\displaystyle \left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)}$, entonces ${\displaystyle A^{T}}$ también tiene inversa izquierda que es

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I}$

luego, aplicando la transpuesta

${\displaystyle A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I}$

Que es lo que se quería demostrar

Métodos de inversión de matrices[editar]

Solución analítica[editar]

Inversión de matrices 2×2[editar]

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:⁶​

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

Ejemplo numérico:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}}$

Inversión de matrices de órdenes superiores[editar]

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)\ }$

Donde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$ es el determinante de A y ${\displaystyle \ \operatorname {adj} {(A)}\ }$ es la matriz de adjuntos de A.

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

Métodos numéricos[editar]

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

Grupo lineal[editar]

Artículo principal: Grupo lineal

El conjunto de todas las matrices ${\displaystyle n\times n}$ que admiten inversa se denota es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)}$. Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}}$ es un conjunto abierto (con la topología inducida de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$).