Deber: Realice el literal 3 de la página 115
| Introducción. | |||
Siguiendo con el esquema de trabajo descrito en la página titulada "Límite de una función en un punto (definición)" vamos a tratar de dar en esta página una definición rigurosa del concepto de límite de una función en el infinito en sus distintas variantes. Para ello, y como hemos hecho antes, partiremos de situaciones concretas sobre las que se irán planteando una serie de cuestiones y, a partir de las respuestas a esas cuestiones obtendremos las definiciones buscadas.
En todo lo que sigue utilizaremos la notación descrita en la página antes mencionada. | |||
| Límite finito. | |||
La idea intuitiva que subyace en estas dos situaciones es la siguiente: si x se hace muy grande (o muy pequeña respectivamente) f(x) se acerca a b. Nuestro objetivo es precisar en qué consisten las expresiones "hacerse grande", "hacerse pequeño" y "acercarse".
| |||
Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.
| |
| Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE. |
1.- Las líneas horizontales de color turquesa tienen como ecuaciones y=b+e e y =b-e por lo que todos los valores de f(x) contenidos en la banda limitada por esas dos rectas distan de b menos que e. Con el valor actual de e=1 desplaza x hacia la derecha para averiguar a partir de qué valor, K, podemos asegurar que se cumple que si x>K entonces |f(x)-b|<e.
|
2.- Haz lo mismo desplazando x hacia la izquierda. En este caso se trata de averiguar a partir de qué valor, K, podemos asegurar que se cumple que si x<K entonces |f(x)-b|<e.
| |
3.- Repite la primera cuestión dando a e, sucesivamente los valores 0.5, 0.1 y 0.01. (En este último caso tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien).
| |
4.- Repite la segunda cuestión dando a e, sucesivamente los valores 0.5, 0.1 y 0.01. (En este último caso tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien).
| |
Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si b es el límite de f(x) cuando x tiende más infinito, se cumple que sea cual sea el valor del número positivo e, es posible encontrar otro número real, K, tal que si x es mayor que K, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e.
En otras palabras, que cuando x se hace grande, f(x) está cerca de b.
Esto nos lleva a la siguiente
Definición
Diremos que b es el límite de la función f(x) cuando x tiende a más infinito, cuando sea cual sea el valor del número positivo e, es posible encontrar un número real, K, tal que si x es mayor que K, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e. Simbólicamente esta definición se representa así:  que también suele ponerse de esta otra manera:  | |
Ejercicio.
Intenta definir por tu cuenta el otro caso (b es el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito). Intenta también obtener expresiones simbólicas para este caso similares a las anteriores.
| |
Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.
| |
| Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE. |
1.- La línea horizontal de color turquesa tiene como ecuación y=K por lo que todos los valores de f(x) que estén por encima de dicha recta son mayores que K. Con el valor actual de K=3, desplaza x hacia la derecha y averigua a partir de qué valor, L, se cumple que si x>L entonces f(x)>K con toda seguridad.
|
2.- Ahora haces lo mismo por la izquierda. Con el valor actual de K=3, desplaza x hacia la izquierda y averigua a partir de qué valor, L, se cumple que si x<L entonces f(x)>K con toda seguridad.
| |
3.- Repite la primera cuestión dando a K, sucesivamente los valores 10, 50 y 100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)
| |
4.- Repite la segunda cuestión dando a K, sucesivamente los valores 10, 50 y 100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)
| |
Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es más infinito, se cumple que sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número real L, tal que si x es mayor que L,entonces f(x) es mayor que K.
En otras palabras, estamos diciendo que cuando x se hace grande, f(x) también; o dicho de otra forma: si queremos que f(x) sea grande, basta con que x aumente suficientemente.
Esto nos lleva a la siguiente
Definición
Diremos que el límite de la función f(x) cuando x tiende a más infinito es más infinito, cuando sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número real L, tal que si x es mayor que L, entonces f(x) es mayor que K. Simbólicamente esta definición se representa así:  | |
Ejercicio. Intenta definir por tu cuenta el otro caso (más infinito es el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito). Intenta también obtener expresiones simbólicas para este caso similares a las anteriores.
| |
| Límite infinito (-). | |||
La idea intutitiva de esta situación nos decía que cuando x se hace muy grande (o muy pequeño, respectivamente), f(x) va decreciendo indefinidamente, es decir, podemos hacer que f(x) sea tan pequeño como se quiera sin más que hacer que x crezca (o decrezca) lo suficiente.
De nuevo nos encontramos con conceptos algo ambiguos: "hacerse pequeño" y "hacerse grande". Al igual que en el caso anterior la cuestión principal es ¿a partir de qué valor consideramos que un número es grande o pequeño?. Para responder a esta pregunta procederemos igual que en la situación anterior, es decir, partiremos de una situación concreta sobre la que se plantean una serie de cuestiones. Las respuestas a estas cuestiones nos permitirán definir con claridad los conceptos antes mencionados. | |||
Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.
| |
| Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE. |
1.- La línea horizontal de color turquesa tiene como ecuación y=K por lo que todos los valores de f(x) que estén por debajo de dicha recta son menores que K. Con el valor actual de K=3, desplaza x hacia la derecha y averigua a partir de qué valor, L, se cumple que si x>L entonces f(x)<K con toda seguridad.
|
2.- Ahora haces lo mismo por la izquierda. Con el valor actual de K=3, desplaza x hacia la izquierda y averigua a partir de qué valor, L, se cumple que si x>L entonces f(x)<K con toda seguridad.
| |
3.- Repite la primera cuestión dando a K, sucesivamente los valores -10, -50 y -100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)
| |
4.- Repite la segunda cuestión dando a K, sucesivamente los valores -10, -50 y -100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)
| |
Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es menos infinito, se cumple que sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número real L, tal que si x es mayor que L,entonces f(x) es menor que K.
En otras palabras, estamos diciendo que cuando x se hace grande, f(x) se hace pequeño; o dicho de otra forma: si queremos que f(x) sea pequeño, basta con que x aumente suficientemente.
Esto nos lleva a la siguiente
Definición
Diremos que el límite de la función f(x) cuando x tiende a más infinito es menos infinito, cuando sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número real L, tal que si x es mayor que L, entonces f(x) es menor que K. Simbólicamente esta definición se representa así:  | |
No hay comentarios:
Publicar un comentario