Tercero matemática

Buenos días estudiantes.

Deber: Lea, analice y subraye las ideas principales y secundarias en el libro, además realice un mapa conceptual de las paginas expuestas con sus respectivas graficas en hojas de papel ministro, OBSERVAR Y ANALIZAR LOS EJERCICIOS RESUELTOS EN LAS PAGINAS PLANTEADAS.
ACTIVIDADES A REALIZAR: (Pág.: 160 todos), (Pág.: 162, todos)

Vectores en el espacio

1. 1. Bachiller: Juan C. Meneses Barcelona, noviembre de 2014
2. 2. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ.
3. 3. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. El vector V tiene las siguientes coordenadas o componentes V (Vx, Vy, Vz). Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2). Las coordenadas o componentes del vector 퐴B se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen. POR EJEMPLO: A(−3, 4, 0) y B(3, 6, 3)
4. 4. Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. Dado un vector del espacio tridimensional expresado por sus componentes, U (U1, U2, U3), su módulo es el número real dado por la expresión: ¿Cuánto vale el módulo del vector ?
5. 5. Distancia entre dos puntos Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos. Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0). Sentido de un vector El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.
6. 6. Dirección de un vector Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector. La dirección de un vector está dada por tres ángulos, llamados ángulos directores del vector.
7. 7. En un sistema tridimensional se utiliza el conjunto de los vectores unitarios cartesianos (i, j y k) para designar las direcciones de los ejes x, y, z respectivamente. Hay que tener presente que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1 y son adimensionales. En los tres casos el módulo vale 1:
8. 8. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo. Se tiene la expresión para la dirección en función de los ángulos directores, Teniendo en cuenta que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1, entonces de la ecuación anterior se puede formular una relación importante entre los cosenos directores: Con esta ecuación se puede determinar uno de los ángulos directores cuando se conocen los otros dos.
9. 9. Suma de vectores Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. Dados los vectores y , hallar el módulo del vector 7
10. 10. Propiedades de la Suma de vectores
11. 11. Producto de un numero real por un vector
12. 12. http://www.aulafacil.com/matematicas-vectores/curso/Lecc-8.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Vector http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector) http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Vectores%20en% 20el%20espacio.pdf

Tercero Física.

Buenos días estudiantes.

Deber: Realizar las actividades 35 y 36 de la página 158.

A qué se debe la variada coloración que apreciamos en los cuerpos?

La luz blanca es una mezcla de oscilaciones electromagnéticas de diversas frecuencias, correspondientes a diferentes colores. Newton obtuvo el clásico espectro de colores, haciendo incidir sobre un prisma la luz solar procedente de la rendija de una persiana.

La luz blanca está compuesta por diferentes colores y al incidir sobre los cuerpos estos absorben o transmiten una parte y reflejan otra.

La variada coloración que apreciamos en los objetos se sustenta en dos de los fenómenos que cumplen las ondas luminosas; la reflexión y la absorción de la luz.

El fenómeno de la reflexión de a luz se pone de manifiesto al incidir un haz luminoso sobre una superficie pulimentada, como por ejemplo, sobre un espejo. En este caso, al incidir el haz de luz sobre la superficie reflectora, el has de luz se desvía y es devuelto al medio de donde proviene.

El fenómeno de la reflexión de la luz tiene sus leyes.

Leyes de la reflexión

• El ángulo que forma el rayo de luz incidente con la normal es igual al ángulo que forma el rayo de luz reflejado con la normal.
• El rayo de luz incidente, la normal y el rayo de luz reflejado se encuentran en un mismo plano.

:Refracción de la luz

¿Por qué un lápiz que se encuentra dentro de un vaso, que contiene agua, se observa como si estuviera quebrado en la superficies de separación entre el aire y el agua? Es evidente que debe suceder algo, que hace que la luz que refleja el lápiz y llega a nuestros ojos no se comporte igual cuando lo vemos fuera del agua a como lo vemos dentro de ella. Por otra parte, mientras la luz viaja por un mismo medio homogéneo esta se propaga en línea recta, pero al cambiar de medio esta puede desviarse o no en dependencia de si su incidencia en la superficie de separación es perpendicular u oblicua con respecto a ella.

Si se hace incidir con cierta inclinación un haz de luz sobre la superficie del agua o de un cuerpo de vidrio, se aprecia un haz reflejado y, además, otro que penetra, desviándose bruscamente. Cuando las ondas en la superficie del agua llegan a una zona de diferente densidad óptica (otro medio), también puede ocurrir una desviación de su dirección de propagación. La razón de estas desviaciones radica en el cambio de velocidad de las ondas al pasar de un medio a otro. Cuando un haz de luz llega a un medio diferente -por ejemplo, cuando desde el aire llega al agua o al vidrio- una parte puede reflejarse y otra refractarse.

El paso de las ondas, y en particular de la luz, de un medio a otro con el consiguiente cambio de su velocidad, se denomina refracción.

El fenómeno de la refracción de la luz cumple con las siguientes leyes:

Leyes de la refracción

• El rayo refractado está en el plano determinado por el rayo incidente y la perpendicular a la superficie en el punto de incidencia (normal).
• Cuando el haz de luz pasa de un medio de menor densidad óptica a otro de mayor (por ejemplo, del aire, al agua, o al vidrio), el ángulo de refracción es menor que el de incidencia, y a la inversa, cuando pasa del medio de mayor densidad óptica al de menor (por ejemplo, del agua o el vidrio al aire), el ángulo de refracción es mayor. Si el ángulo de incidencia es de 0° con respecto a dicha perpendicular, el ángulo de refracción también es de 0°.

A medida que aumenta el ángulo de incidencia aumenta el de refracción.

Paso de la luz a través de un prisma. Obtención de luz blanca

Cuando el haz de luz atraviesa un prisma, se desvía y se hace más ancho, ocurriendo la separación de los colores que lo componen. Este fenómeno se conoce como dispersión cromática, o de colores de la luz. Los haces de diferentes colores se separan debido a que tienen distintas velocidades; mientras menor es la velocidad, mayor es la desviación del haz. A su vez, la diferente velocidad de los haces de colores se explica por sus distintas frecuencias. Como sabes, a mayor frecuencia de la onda, corresponde una menor velocidad de su propagación en el medio.

Es posible volver a obtener luz blanca una vez que haya atravesado un prisma. Esto es posible si colocamos un segundo prima de modo que los rayos incidentes sean los descompuestos por el primer prima.

:Interferencia

Fenómeno de la superposición de dos o mas haces luminosos coherentes, lo cual da lugar a la formación de zonas claras y oscuras.

El experimento realizado A principio del siglo XIX, el físico y médico inglés Tomás Young (1723-1829) permite el estudio del fenómeno de interferencia de la luz.

En esencia, en el experimento de Young consiste en:

La luz que atraviesa un orificio (muy pequeño) incide sobre una pantalla en la que abierto otros dos pequeños orificios muy cercanos. De estos orificios salen conos de haces luminosos. Los haces emergentes de dichos orificios se superponen. Si a continuación colocamos una pantalla, observaremos una sucesión de franjas claras y obscuras y se denomina patrón de interferencia.

Las características del patrón de interferencia pueden tener diferentes características en función de los determinados factores.

El experimento de Young fue el primer experimento que permitió calcular la longitud de onda de los rayos luminosos.

Para determinar la posición de los máximos (zonas iluminadas) y los mínimos ( zonas oscuras) en el patrón de difracción, se aplican las siguientes ecuaciones:

máximos---------- 

mínimos----------

La interferencia en láminas delgadas tiene sus regularidades. En el siguiente enlace encontrarás algunos elementos sobre este fenómeno. Ver presentación

:Difracción de la luz

La difracción de la luz es el fenómeno en el cual la dirección de propagación de la luz se curva al pasar por la vecindad de un objeto.

Este fenómeno es apreciable al observar detalladamente los bordes de un cuerpo opaco iluminado con una fuente de luz, o cuando se ilumina una diminuta abertura. En este caso, si colocamos una pantalla podemos observar un patrón compuesto por zonas claras y oscuras. La zona central estará brillantemente iluminada y a ambos lados aparecerán zonas coloreadas.

El patrón de difracción puede variar al utilizar redes con diferentes redes y al colocar filtros de diferentes longitudes de onda.

El fenómeno de la difracción tiene sus regularidades. En el siguiente enlace encontrarás algunos elementos sobre este fenómeno y podrás consultar ejercicios resueltos sobre el tema. Ver presentación

:Polarización de la luz

Existen algunos tipos de cristales en los que la luz natural que incide sobre ellos no se comporta de la misma forma que en los comunes. Este es el caso de los cristales de Turmalina.

Cuando incide luz natural perpendicularmente sobre una de las caras de un cristal de turmalina, cortado convenientemente, no se detectará variación en la intensidad de la luz emergente aunque se gire el cristal, sin embargo , no sucede lo mismo cuando colocamos un segundo cristal a continuación del primero. En este caso, cuando giramos el segundo cristal observaremos que la intensidad de la luz emergente puede variar en determinadas posiciones, yendo desde un máximo de intensidad hasta no haber prácticamente luz emergente.

Este fenómeno recibe el nombre de polarización de la luz, y la luz que emerge del segundo cristal luz polarizada.

Polarización de la luz: Es el fenómeno mediante el cual se obtiene una luz polarizada.

La luz polarizada es aquella en la que el vector intensidad de campo eléctrico oscila en una sola dirección.

En la siguiente presentación encontrarás elementos que profundizan en el fenómeno de la polarización de la

Segundo matemática.

Buenos días estudiantes.

Deber: Lea, analice y subraye las ideas principales y secundarias en el libro, además realice un mapa conceptual de las paginas expuestas con sus respectivas graficas en hojas de papel ministro, OBSERVAR Y ANALIZAR LOS EJERCICIOS RESUELTOS EN LAS PAGINAS PLANTEADAS. NOTA: ESTUDIAR LA PAG: 162 y 163, LECCION EN CLASE SOLO CONCEPTOS Y GRAFICA. ACTIVIDAD A REALIZAR: (Pág.: 164 todos)

ircunferencia y sus ecuaciones

{ 6 enero 2010 @ 7:21 PM } · { Temas 2 }

Circunferencia y sus ecuaciones

Para empezar este tema, vamos a definir qué es una circunferencia:

Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistas de un punto fijo llamado centro.

En palabras más sencillas, es una figura donde todos  los puntos se encuentran a una misma distancia del centro

El círculo es muy usado en la actualidad y tiene muchos usos, en geometría analítica lo representamos con dos fórmulas, la fórmula canónica de la circunferencia y la forma general de la ecuación de la circunferencia.

1-Forma canónica de la circunferencia

Esta fórmula es muy sencilla, es la siguiente:

 

Esta fórmula nos indica dos cosas:

El centro del a circunferencia, indicado por h y k, donde estos números serían las coordenadas del centro C(h,k); también nos indica el radio, representado por R . Si quisiéramos saber cuál es el centro y su radio, haríamos lo siguiente

(x-4)² + (y +3)²= 9

Para sacar el centro, tomamos los números que están entre paréntesis, que son los valores de h y k. Como en la forma canónica tenemos un signo negativo enfrente de los números, eso nos quiere decir que para tener el centro basta con tomar los números entre paréntesis con su signo contrario, por lo que el centro sería:

(4,-3)

Ahora, para sacar el radio es todavía más sencillo, simplemente tomamos el número que está seguido del signo igual y sacamos su raíz cuadrada, hacemos esto porque en la forma canónica tenemos R²,  por los que si quisiéramos saber el valor del radio sólo basta con hacer lo siguiente:

√9 = 3

R= 3

En caso de que el centro fuera el origen (0,0), la fórmula queda de la siguiente manera:

 

2-Forma general de la circunferencia

La forma general de la circunferencia es la siguiente:

Ésta surge de desarrollar la forma canónica, aquí tenemos el despeje:

(x – h)² + (y – k)² = r²

Lo que tenemos aquí son dos binomios al cuadrado, y un binomio al cuadrado desarrollado queda de la siguiente manera:

(a + b)² = a² + 2ab +  b²

(a – b)² = a² – 2ab +  b²

Por lo que siguiendo estas reglas nos queda

x² – 2hx + h² +y² -2ky + k² = r²

x² – 2hx + h² +y² -2ky + k² –  r² =0

Si lo ordenamos queda:

x² + y² – 2hx – 2ky + (h² + k² – r²) = 0

Y si a=2h              b= – 2k      y        c= h² + k² – r²

Entonces si queda

x² + y² +ax + by + c =0

3-Convertir de forma general a forma canónica

Para hacer esto, se sigue el siguiente procedimiento, aquí tenemos un ejemplo:

x² + y² -14x -20y + 68 = 0

Lo primero que hacemos es que juntamos las x con las x y las y con las y y pasamos el término libre al otro lado

x² -14x + y²-20y = – 68

Ahora vamos a dividir los coeficientes de x y y lo elevamos al cuadrado, en este caso 14 y 20, tendríamos:

14/2 = 7

7² = 49

20/2= 10

10²= 100

Lo que vamos a hacer con estos números es completar el trinomio cuadrado perfecto (El resultante de desarrollar (a² + b²)) y también pasar esos números al otro lado de la ecuación.

(x² -14x +49) + ( y²-20y + 100) = – 68 + 49 + 100

Ahora factorizamos los trinomios cuadrados perfectos y sumamos el otro lado de la ecuación, para factorizar un trinomio cuadrado perfecto simplemente sacamos las raíces cuadradas de los extremos y tomamos el símbolo del segundo término:

a² + 2ab +  b² =(a + b)²

a² – 2ab +  b² =(a – b)²

Entonces tenemos:

(x – 7)² + (y – 10)² =81

4-Datos importantes

Si  el radio es positivo, entonces la circunferencia es real.

Si el radio es negativo, la circunferencia es imaginaria.

Si el radio es cero, entonces la fórmula sólo está representando al punto (h,k)

Segundo física.

Buenos días estudiantes.

Deber: Realizar las actividades 47, 48 y 49 de la página 169.

Proceso termodinámico

Ir a la navegaciónIr a la búsqueda

En física, se denomina proceso termodinámico a la evolución de determinadas magnitudes (o propiedades) propiamente termodinámicas relativas a un determinado sistema termodinámico. Desde el punto de vista de la termodinámica, estas transformaciones deben ocurrir desde un estado de equilibrio inicial a otro final; es decir, que las magnitudes que sufren una variación al pasar de un estado a otro deben estar perfectamente definidas en dichos estados inicial y final. De esta forma los procesos termodinámicos pueden ser interpretados como el resultado de la interacción de un sistema con otro tras ser eliminada alguna ligadura entre ellos, de forma que finalmente los sistemas se encuentren en equilibrio (mecánico, térmico y/o material) entre sí.

De una manera menos abstracta, un proceso termodinámico puede ser visto como los cambios de un sistema, desde unas condiciones iniciales hasta otras condiciones finales, debido a su desestabilización.

Índice

• 1Tipos de procesos termodinámicos
  • 1.1Procesos Iso
  • 1.2Procesos politrópicos
• 2Véase también

Tipos de procesos termodinámicos[editar]

Procesos Iso[editar]

Son los procesos cuyas magnitudes permanecen "constantes", es decir que el sistema cambia manteniendo cierta proporcionalidad en su transformación. Se les asigna el prefijo iso-.

Ejemplo:

• Isotérmico: proceso a temperatura constante.
• Isobárico: proceso a presión constante
• Isométrico o isocórico: proceso a volumen constante
• Isoentálpico: proceso a entalpía constante
• Isoentrópico: proceso a entropía constante

Procesos politrópicos[editar]

Los procesos politrópicos son aquellos procesos termodinámicos para gases ideales que cumplen con la ecuación: ${\displaystyle PV^{a}={\text{cte.}}}$ donde ${\displaystyle a}$ es un número dado. Para el caso de procesos adiabáticos, ${\displaystyle a}$ es igual a ${\displaystyle k}$, el cual es un valor específico para cada sustancia. Este valor se puede encontrar en tablas para dicho caso.

Primero física

Buenos días estudiantes.

Deber: Pág. 154 ejercicio 1 y 2

. Rendimiento mecánico

En cualquier transformación energética, siempre existen pérdidas debidas a diversos factores, rozamientos entre componentes móviles de los mecanismos, rozamientos con el aire, pérdidas debidas a la energía absorbida por los elementos resistentes a deformarse, pérdidas debidas al efecto Joule en sistemas eléctricos, causadas por efectos parásitos en los campos electromagnéticos.

Por lo que se define el rendimiento (η) como el cociente entre la energía útil (Eu) y la energía total (Et) suministrada por el sistema.

El rendimiento tiene como características que es adimensional, es decir que no tiene unidades, se expresa en tanto por uno, o bien si se multiplica este resultado por cien se expresa en tanto por ciento (%), siempre tiene que ser inferior a la unidad, solo en el caso ideal de que un sistema no tuviese pérdidas su valor sería la unidad, pero esto solo ocurre a nivel teórico, nunca en la práctica.

El rendimiento también se utiliza referido a potencias, y así la expresión sería.

En resumen, todas las máquinas y cualquier proceso físico funcionan con un rendimiento inferior al 100%, lo que provoca pérdidas de energía, esto no se debe interpretar como el incumplimiento del principio enunciado sino como una transformación "irremediable" de la energía en formas más degradadas, generalmente en forma de calor.

Primero Matemática

Buenos días estudiantes.

Deber: Realice el literal 4 de la página 115

Límite matemático

Ir a la navegaciónIr a la búsqueda

En análisis real y complejo, el concepto de límite es la piedra de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Índice

• 1Límite de una sucesión
• 2Límite de una función
• 3Límite de una sucesión de conjuntos
• 4Límite en espacios topológicos
  • 4.1Redes
  • 4.2Filtros
• 5Límite de Banach
• 6Límites en teoría de categorías
• 7Véase también
• 8Referencias
  • 8.1Bibliografía
  • 8.2Enlaces externos

Límite de una sucesión[editar]

La sucesión ${\displaystyle a_{n}=2^{(4-n)}}$ para ${\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$converge al valor 0, como se puede observar en la ilustración.

Artículo principal: Límite de una sucesión

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto ${\displaystyle L}$, si existe, para valores grandes de ${\displaystyle n}$. Esta definición es muy parecida a la definición del cuando tiende a ${\displaystyle \infty }$.

Formalmente, se dice que la sucesión ${\displaystyle a_{n}}$ tiende hasta su límite ${\displaystyle L}$, o que converge o es convergente (a ${\displaystyle L}$), y se denota como:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$

si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural ${\displaystyle N}$ tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural ${\displaystyle n}$ mayor que ${\displaystyle N}$, se acerquen a ${\displaystyle L}$ cuando ${\displaystyle n}$ crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

${\displaystyle a_{n}\to L\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N>0:\forall n>N,|a_{n}-L|<\varepsilon }$

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función[editar]

Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.¹​ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L}$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}}$

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)}$

Límite de una sucesión de conjuntos[editar]

Artículo principal: Límite (sucesión de conjuntos)

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera ${\displaystyle A_{n}}$, se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)\leq \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)}$

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}<\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}}$

Límite en espacios topológicos[editar]

Redes[editar]

Véase también: Red (matemáticas)

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.

Sea ${\displaystyle (X,T)}$ un espacio topológico y ${\displaystyle (x_{d})_{d\in D}}$ una red en ${\displaystyle X}$. Se dice que ${\displaystyle x\in X}$ es un punto límite de la red ${\displaystyle (x\in \lim _{d\in D}x_{d})}$ si la red está eventualmente en cada entorno de ${\displaystyle x}$, es decir, si cualquiera que sea el entorno ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle x}$ (esto es, cualquiera que sea el conjunto ${\displaystyle V}$ de forma que exista un abierto ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle x\in G\subset V}$) existe un ${\displaystyle d_{0}\in D}$ de tal forma que para cada ${\displaystyle d\in D}$ con ${\displaystyle d_{0}\sim d}$ se cumple que ${\displaystyle x_{d}\in V}$.

Filtros[editar]

Véase también: Filtro (matemáticas)

En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$, si para todo entorno U de x, existe un B₀ ∈ B tal que B₀ ⊆ U. En este caso, x se llama límite de B y Bse denomina filtro base convergente.²​³​

De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a estas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como

${\displaystyle \lim _{\mathcal {B}}f=y}$

si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.²​

Límite de Banach[editar]

Artículo principal: Límite de Banach

En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional lineal continuo ${\displaystyle \phi :\ell _{\infty }\to \mathbb {R} }$ definido sobre el espacio de Banach ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si ${\displaystyle x_{n}}$ es una sucesión convergente, entonces ${\displaystyle \phi (x)=\lim _{n}x_{n}}$, generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, ${\displaystyle \phi }$ es una extensión del funcional continuo ${\displaystyle \lim :c\mapsto \mathbb {C} .}$⁴​

En particular, la existencia del límite de Banach no es única.⁴​

Límites en teoría de categorías[editar]

Artículo principal: Límite (teoría de categorías)

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.